Presentación de la hipérbola

Definición de hipérbola

Dados dos puntos $F_1$ y $F_2$ llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.

Elementos de la Hipérbola

Los elementos de la hipérbola son:

1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 

2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 

3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 

4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 

5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 

6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 

7. Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c. 

8. Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a. 

9. Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b. 

10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 

11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:  

12. Relación entre los semiejes: 

Hipérbola equilatera

La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A₁ y A₂) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.

Relación entre semiejes de la hipérbola

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B₁ y B₂. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V₁ y V₂. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B₁ y B₂. Siendo O=(o₁,o₂) el centro de la hipérbola, tendremos que B₁=(o₁,o₂+b) y B₂=(o₁,o₂-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Ecuación canónica de la hipérbola

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en $\left(0,0\right)$ y eje focal $y=0$ (eje $x$)

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c(semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.

Casos particulares de las hipérbolas

Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x0=0 e y0=0. Teniendo en cuenta este hecho:

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:

x2a2−y2b2=1

Donde:

• a : Semieje real 
• b : Semieje imaginario

Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen

La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:

y2a2−x2b2=1

Donde:

• a : Semieje real 
• b : Semieje imaginario