sábado, 1 de diciembre de 2018
viernes, 30 de noviembre de 2018
Presentación de la Parábola
Definición
Una parábola se define como el conjunto de puntos en el plano que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo llamado Foco y una línea recta también fija llamada Directríz.
Al punto medio entre el foco y la directriz se le conoce con el nombre de Vértice.
La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, es decir su intersección forma un ángulo recto, se le conoce con el nombre de Eje de simetría
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y, vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es: 
Una parábola se define como el conjunto de puntos en el plano que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo llamado Foco y una línea recta también fija llamada Directríz.
Ecuación de una parábola
La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:
Elementos de la parábola
Directriz
La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco
Eje Focal
El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice
Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.
Lado Recto
Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parabola(A,B).
Parámetro
La distancia entre el vertice y la directriz que es la misma denter el vertice y el focode una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).
Presentación de la hipérbola
Dados dos puntos y llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
Elementos de la Hipérbola
Los elementos de la hipérbola son:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento 
de longitud 2c.
de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento 
de longitud 2a.
de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento 
de longitud 2b.
de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 
12. Relación entre los semiejes: 
Hipérbola equilatera
La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
Relación entre semiejes de la hipérbola
Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:
Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):
Ecuación canónica de la hipérbola
Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en y eje focal (eje )
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c(semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.
Casos particulares de las hipérbolas
Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x0=0 e y0=0. Teniendo en cuenta este hecho:
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:
Donde:
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen viene dada por:
Donde:
- a : Semieje real
- b : Semieje imaginario
martes, 13 de noviembre de 2018
Presentación de la Ecuación de la Recta
Ecuación de la Recta
Los
objetivos de es este blogger son:
1)
Aprender a localizar los puntos del plano (coordenadas)
2)
Conocer como hallar la Pendiente
3)
Conocer Dominar la formula general de la Ecuación de la Recta
Utilidad de la Ecuación de la Recta
Muchas
situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. A
modo de ejemplo voy a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se
compra de Pan en mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en
esta”.
Desarrollo:
“En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre
compra tres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía”
Es decir,
vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y
“n” la cantidad de personas que se encuentran en la casa.
Con una
persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería:
P(1) =
2(1) + 3 = 5 , de la misma forma
P(2) =
2(2) + 3 = 7
P(3) =
2(3) + 3 = 9
P(4) =
2(4) + 3 = 11
Por lo
tanto podemos deducir que P(n) = 2n + 3 representa la cantidad a comprar de pan
cuando en mi casa se encuentran “n” Personas.
De esta
forma Y = 2x + 3 representa la ecuación de la recta, la cual nos muestra la
cantidad de pan que debe comprarse de pan en mi casa.
Gráficamente:
El punto en el plano cartesiano
Unos ejes
cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten
identificar los distintos puntos del plano.
Identificaremos
un punto P cualquiera mediante un par de números a y b, y
escribiremos P=(a, b). Antes de ver cómo encontrar dichos a y b, analicemos
un poco más a fondo los ejes cartesianos.
Esta es una representación gráfica de unos ejes
cartesianos:
Observamos
que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto 0 de ambas.
Es
destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:
Los
distintos ejes tienen nombres propios:
·
El eje
horizontal es el eje de abscisas.
·
El eje
vertical es el eje de ordenadas.
Una
definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser:
Dados uno
ejes cartesianos y un punto P del
plano, si a y b son el valor de la proyección del
punto P sobre los ejes de
abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene P=(a,b).
Una
definición más constructiva podría ser la siguiente:
Las
coordenadas a y b de un punto del plano,P=(a, b), son los puntos de intersección
de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto P con los ejes de coordenadas. La
primera coordenada a es la
intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada b es la intersección con el eje
vertical o de ordenadas.
Ejemplo
Si trazamos
paralelas des del punto, tenemos:
Podemos decir: P=(2,-3)
La Pendiente de una Recta
La
pendiente m de una recta que pasa a través de dos puntos
( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 )
es:
Si la
gráfica de una recta sube de la izquierda a la derecha, la pendiente es
positiva. Si la gráfica de la recta cae de la izquierda a la derecha la
pendiente es negativa.
Ejemplo:
Encuentre
la pendiente de la recta que pasa a través de los puntos (–3, 17) y (4, 3).
Sustituyendo x 1 =
–3, y 1 = 17, x 2 = 4, y y 2 =
3, obtenemos:
Así la pendiente es –2.
Formula General
Si se
conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje
de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en
la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la
recta de la forma
y − y 1 = m(x −
x 1 )
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Autores:
- Cotrina Briceño, Iris Sthefany
- Ordinola Rojas, Estefany
- Parra de Paz, Gonzalo Rodrigo
- Rafaele Mejia, Andrés
Bibliografía:
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